In der Mathematik ist eine Wohlordnung (oder Wohlordnung oder Wohlordnungsbeziehung ) auf einem Satz S eine Gesamtordnung auf S mit der Eigenschaft, dass jede nicht leere Teilmenge von S ein Mindestelement in dieser Reihenfolge hat. Die Menge S zusammen mit der Verwandtschaftsbeziehung wird dann als geordnete Menge bezeichnet. In einigen wissenschaftlichen Artikeln und Lehrbüchern werden diese Begriffe stattdessen als wellorder und und wellordering oder well order gut beschrieben bestellt und gut bestellen .
Jeder nicht leere, gutgeordnete Satz hat ein kleinstes Element. Jedes Element s einer wohlgeordneten Menge mit Ausnahme eines möglicherweise größten Elements hat einen eindeutigen Nachfolger (next element), nämlich das kleinste Element der Teilmenge aller Elemente, die größer als s sind. . Es kann Elemente neben dem kleinsten Element geben, die keinen Vorgänger haben (siehe Natürliche Zahlen unten für ein Beispiel). In einem wohlgeordneten Satz S hat jede Untergruppe T die eine Obergrenze aufweist, eine kleinste Obergrenze, nämlich das kleinste Element der Untermenge aller Obergrenzen von T in S .
Wenn ≤ eine nicht-strikte Ordnung ist, dann ist <eine strikte Ordnung. Eine Beziehung ist genau dann eine strikte Ordnung, wenn es sich um eine begründete strikte Gesamtordnung handelt. Die Unterscheidung zwischen strengen und nicht-strengen Well-Ordnungen wird oft ignoriert, da sie leicht konvertierbar sind.
Jeder geordnete Satz ist eindeutig zu einer eindeutigen Ordnungszahl, dem Ordertyp des geordneten Satzes, eindeutig isomorph. Der Satz der Ordnung, der dem Axiom der Wahl entspricht, besagt, dass jeder Satz gut geordnet werden kann. Wenn eine Menge gut geordnet ist (oder auch nur eine begründete Beziehung zulässt), kann die Beweismethode der transfiniten Induktion verwendet werden, um zu beweisen, dass eine bestimmte Aussage für alle Elemente der Menge wahr ist.
Die Beobachtung, dass die natürlichen Zahlen in der üblichen Unter-als-Beziehung gut geordnet sind, wird allgemein als wohlgeordnetes Prinzip (für natürliche Zahlen) bezeichnet.
Ordnungszahlen [ edit ]
Jedes geordnete Set ist eindeutig auf einer eindeutigen Ordnungszahl isomorph, die als Ordertyp des geordneten Sets bezeichnet wird. Die Position jedes Elements innerhalb des geordneten Satzes wird auch durch eine Ordnungszahl angegeben. Im Falle eines endlichen Satzes entspricht die grundlegende Operation des Zählens, das Finden der Ordnungszahl eines bestimmten Objekts oder das Finden des Objekts mit einer bestimmten Ordnungsnummer, der Ordnungsnummer der Objekte nacheinander. Die Größe (Anzahl der Elemente, Kardinalzahl) einer endlichen Menge entspricht dem Auftragstyp. Das Zählen im alltäglichen Sinne beginnt in der Regel bei Eins, so dass jedem Objekt die Größe des Anfangssegments mit diesem Objekt als letztem Element zugewiesen wird. Beachten Sie, dass diese Zahlen um eins höher sind als die formalen Ordnungszahlen gemäß der isomorphen Reihenfolge, da diese der Anzahl früherer Objekte entsprechen (was dem Zählen von Null entspricht). Für endliche n erfordert der Ausdruck " n -te Element" einer geordneten Menge einen Kontext, um zu wissen, ob dies von Null oder Eins zählt. In einer Notation "β-th Element", wo β auch eine unendliche Ordinalzahl sein kann, zählt es typischerweise von Null aus.
Für eine unendliche Menge bestimmt der Ordertyp die Kardinalität, jedoch nicht umgekehrt: gut geordnete Mengen einer bestimmten Kardinalität können viele verschiedene Ordertypen haben. Bei einem abzählbar unendlich großen Satz ist der Satz möglicher Auftragstypen sogar unzählbar.
Beispiele und Gegenbeispiele [ edit ]
Natürliche Zahlen [ edit ]
Die Standardreihenfolge der natürlichen Zahlen ist eine gute Reihenfolge und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass jede von Null verschiedene natürliche Zahl einen eindeutigen Vorgänger hat.
Eine weitere Reihenfolge der natürlichen Zahlen ist gegeben, wenn definiert wird, dass alle geraden Zahlen kleiner als alle ungeraden Zahlen sind und dass die übliche Reihenfolge innerhalb der Gänge und der Chancen gilt:
- 0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...
Dies ist ein gut geordneter Satz von Ordertyp ω + ω. Jedes Element hat einen Nachfolger (es gibt kein größtes Element). Bei zwei Elementen fehlt ein Vorgänger: 0 und 1.
Ganzzahlen [ edit ]
Im Gegensatz zur Standardreihenfolge der natürlichen Zahlen ist die Standardreihenfolge der Ganzzahlen keine gute Ordnung, da zum Beispiel die Menge von negative ganze Zahlen enthalten kein kleinstes Element.
Die folgende Beziehung R ist ein Beispiel für eine gute Ordnung der ganzen Zahlen: x R y Wenn und nur wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- x = 0
- x ist positiv und y ist negativ
- x und y sind beide positiv und x ≤ y
- x und y sind beide negativ und | x | ≤ | y |
Diese Beziehung R kann wie folgt visualisiert werden:
- 0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...
R ist isomorph zur Ordnungszahl ω + ω.
Eine weitere Relation für die Ordnung der ganzen Zahlen ist die folgende Definition: x ≤ z y iff (| x | <| y | oder (| x | = | y | und x ≤ y )). Diese Reihenfolge kann wie folgt visualisiert werden:
- 0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...
Dies hat die Ordnungsart ω.
Reals [ edit ]
Die Standardreihenfolge eines realen Intervalls ist keine gute Ordnung, da beispielsweise das offene Intervall (0, 1) [0,1] enthält kein kleinstes Element. Aus den ZFC-Axiomen der Mengenlehre (einschließlich des Axioms der Wahl) kann man zeigen, dass es eine gute Ordnung der Realen gibt. Auch Wacław Sierpiński hat bewiesen, dass ZF + GCH (die allgemeine Kontinuumshypothese) das Axiom der Wahl und damit eine gute Ordnung der Realen impliziert. Es kann jedoch gezeigt werden, dass die ZFC + GCH-Axiome allein nicht ausreichen, um das Bestimmen einer (durch eine Formel) definierbaren Well-Ordnung der Realen zu beweisen. [1] Es ist jedoch im Einklang mit ZFC, dass eine definierbare Well-Ordnung von Die Realen existieren - zum Beispiel stimmt es mit ZFC überein, dass V = L ist, und es folgt aus ZFC + V = L, dass eine bestimmte Formel die Reals oder sogar eine Menge ordnet.
Eine unzählbare Teilmenge der reellen Zahlen mit der Standardreihenfolge ≤ kann keine gute Ordnung sein: Angenommen, X ist eine Teilmenge von R die nach ≤ geordnet ist. Für jedes x in X sei ( x ) der Nachfolger von x in ≤ Bestellung auf X (es sei denn, x ist das letzte Element von X ). A = {( x s ( x )) | x [1945 X }, deren Elemente nicht leere und nicht zusammenhängende Intervalle sind. Jedes dieser Intervalle enthält mindestens eine rationale Zahl, so dass es eine injizierende Funktion von A bis Q gibt. Es gibt eine Injektion von X bis A (außer möglicherweise einem letzten Element von X das später auf null abgebildet werden könnte). Und es ist allgemein bekannt, dass von Q eine Einspritzung in die natürlichen Zahlen (die gewählt werden könnten, um zu vermeiden, Null zu treffen) vorhanden ist. Daher gibt es eine Einspritzung von X in die natürlichen Zahlen, was bedeutet, dass X abzählbar ist. Auf der anderen Seite kann eine zählbar unendliche Teilmenge der Realen eine ordentliche Ordnung mit dem Standard "≤" sein oder nicht. Zum Beispiel,
- Die natürlichen Zahlen sind eine ordentliche Ordnung unter der Standardreihenfolge ≤.
- Die Menge {1 / n: n = 1,2,3, ...} hat kein kleinstes Element und ist daher nicht gut ordentlich Standardbestellung ≤.
Beispiele für Brunnenaufträge:
- Die Menge von Zahlen {- 2 - n | 0 ≤ n <ω} hat den Auftragstyp ω.
- Die Menge von Zahlen {- 2 - n - 2 - m ] - n | 0 ≤ m n <ω} hat die Auftragsart ω². Der vorherige Satz ist der Satz von Grenzpunkten innerhalb des Satzes. Innerhalb der Menge der reellen Zahlen, entweder mit der gewöhnlichen Topologie oder der Ordentopologie, ist 0 auch ein Grenzpunkt der Menge. Es ist auch ein Grenzpunkt der Menge von Grenzpunkten.
- Die Menge von Zahlen {- 2 - n | 0 ≤ n <ω} ∪ {1} hat den Ordertyp ω + 1. Bei der Ordertopologie dieser Menge ist 1 ein Grenzpunkt der Menge. Bei der gewöhnlichen Topologie (oder äquivalent der Ordnungstopologie) der reellen Zahlen ist dies nicht der Fall.
Äquivalente Formulierungen [ edit ]
Wenn eine Menge vollständig geordnet ist, dann die folgende sind einander gleichwertig:
- Das Set ist gut geordnet. Das heißt, jede nicht leere Teilmenge hat ein kleinstes Element.
- Transfinite Induktion funktioniert für die gesamte geordnete Menge.
- Jede streng abnehmende Folge von Elementen der Menge muss nach nur endlich vielen Schritten enden (vorausgesetzt, das Axiom der abhängigen Wahl).
- Jede Unterordnung ist isomorph zu einem Anfangssegment.
Auftragstopologie [ ]
. Jedes gutgeordnete Set kann in einen topologischen Raum überführt werden, indem es mit dem Auftragstopologie.
In Bezug auf diese Topologie kann es zwei Arten von Elementen geben:
- isolierte Punkte - dies sind die Mindest- und die Elemente mit einem Vorgänger.
- Grenzpunkte - Dieser Typ tritt nicht in endlichen Mengen auf und kann in einer unendlichen Menge vorkommen. Die unendlichen Mengen ohne Grenzpunkt sind die Mengen des Ordnertyps ω, zum Beispiel N .
Für Teilmengen können wir unterscheiden:
- Teilmengen mit einem Maximum (dh Teilmengen, die an sich selbst gebunden sind); Dies kann ein isolierter Punkt oder ein Grenzpunkt der gesamten Menge sein. im letzteren Fall kann es sich auch um einen Grenzpunkt der Teilmenge handeln.
- Teilmengen, die an sich nicht gebunden sind, jedoch in der Gesamtmenge begrenzt sind; Sie haben kein Maximum, aber ein Supremum außerhalb der Teilmenge; Wenn die Teilmenge nicht leer ist, ist dieses Supremum ein Grenzpunkt der Teilmenge und somit auch der gesamten Menge. Wenn die Teilmenge leer ist, ist dieses Supremum das Minimum der Gesamtmenge.
- Teilmengen, die in der Gesamtmenge nicht gebunden sind.
Eine Teilmenge ist genau dann in der Gesamtmenge Cofinal, wenn sie in der Gesamtmenge oder in der Gesamtmenge nicht gebunden ist es hat ein Maximum, das auch Maximum des gesamten Sets ist.
Eine geordnete Menge als topologischer Raum ist genau dann ein erster zählbarer Raum, wenn der Ordertyp kleiner oder gleich ω 1 (Omega-One) ist, dh wenn und nur wenn der Satz abzählbar ist oder die kleinste nicht abzählbare Auftragsart hat.
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